วิธีหาจุดต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชัน: คุณสมบัติวิธีการและตัวอย่าง

มีฟังก์ชั่นและการศึกษาคุณสมบัติต่างๆหนึ่งในบทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ องค์ประกอบหลักของฟังก์ชันใด ๆ คือกราฟที่แสดงถึงสมบัติของมันไม่เพียง แต่ยังมีพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองดูที่หัวข้อที่ยากลำบากนี้ ดังนั้นวิธีที่ดีที่สุดในการหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน?

ฟังก์ชัน: นิยาม

ตัวแปรใดก็ตามที่ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณอื่นสามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน f (x²) เป็นสมการกำลังสองและกำหนดค่าสำหรับชุดทั้งหมด x สมมติว่า x = 9 แล้วค่าของฟังก์ชันของเราจะเป็น 9²= 81

ฟังก์ชั่นสามารถทำได้ทุกประเภท: ตรรกะ, เวกเตอร์, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, ตัวเลขและอื่น ๆ พวกเขาได้ศึกษาความคิดที่โดดเด่นเช่น Lacroix, Lagrange, Leibniz และ Bernoulli ผลงานของพวกเขาทำหน้าที่เป็นที่มั่นในรูปแบบใหม่ของการเรียนรู้การทำงาน ก่อนที่จะหาจุดต่ำสุดเป็นเรื่องสำคัญมากที่ต้องเข้าใจถึงความหมายของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมัน

Derivative และบทบาทของมัน

ฟังก์ชั่นทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับตัวแปรซึ่งหมายความว่าพวกเขาสามารถเปลี่ยนค่าได้ตลอดเวลา บนกราฟจะแสดงเป็นเส้นโค้งซึ่งจะลดลงจากนั้นขึ้นไปตามเสี้ยน (นี่คือชุดตัวเลขทั้งหมด "y" ตามแนวตั้งของกราฟ) ดังนั้นการกำหนดจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจะเกี่ยวข้องกับ "ความผันผวน" เหล่านี้เท่านั้น เราจะอธิบายว่าความสัมพันธ์นี้เป็นอย่างไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ จะถูกวางลงบนกราฟมีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาลักษณะหลักของมันและคำนวณว่าการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทำงานเร็วเพียงใด (กล่าวคือเปลี่ยนค่าขึ้นอยู่กับตัวแปร "x") ในขณะที่ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นกราฟของอนุพันธ์จะเพิ่มขึ้น แต่ในช่วงเวลาใด ๆ ฟังก์ชันอาจเริ่มลดลงแล้วกราฟอนุพันธ์จะลดลง จุดที่อนุพันธ์มาจากเครื่องหมายบวกกับเครื่องหมายบวกเรียกว่าจุดต่ำสุด เพื่อที่จะทราบวิธีการหาจุดต่ำสุดคุณควรทำความเข้าใจกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์

วิธีคำนวณอนุพันธ์

นิยามและการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนัยหลายแนวคิดจากแคลคูลัสแตกต่าง โดยทั่วไปคำนิยามของอนุพันธ์สามารถอธิบายได้ดังนี้: นี่คือค่าที่บ่งบอกถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้สำหรับหลาย ๆ คนนักเรียนดูเหมือนจะซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงทุกสิ่งทุกอย่างง่ายกว่ามาก จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องปฏิบัติตามแผนมาตรฐานสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ด้านล่างเราจะอธิบายถึงวิธีที่คุณสามารถหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้กฎการแยกแยะและไม่มีการเรียนรู้ตารางอนุพันธ์

1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถคำนวณได้โดยใช้กราฟิก เมื่อต้องการทำเช่นนี้คุณต้องแสดงฟังก์ชันเองจากนั้นใช้จุดเดียวบน (จุด A ในรูป) ในแนวตั้งลงวาดเส้นที่แกน abscissa (จุด x₀) และที่จุด A วาดสัมผัสกับกราฟฟังก์ชัน แกน abscissa และสัมผัสกันสร้างมุม a. เมื่อต้องการคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จะเติบโตขึ้นอย่างรวดเร็วคุณจำเป็นต้องคำนวณการสัมผัสกันของมุมนี้ a.
2. ปรากฎว่าสัมผัสของมุมระหว่างสัมผัสและทิศทางของแกน x คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันในส่วนเล็ก ๆ ที่มีจุด A วิธีนี้ถือเป็นวิธีทางเรขาคณิตในการหาอนุพันธ์

วิธีการตรวจสอบฟังก์ชัน

ในโปรแกรมคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเป็นไปได้หาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในสองวิธี วิธีการแรกด้วยความช่วยเหลือของกราฟที่เราได้ถอดประกอบแล้วแต่เราจะคำนวณค่าตัวเลขของอนุพันธ์อย่างไร ในการทำเช่นนี้คุณจำเป็นต้องเรียนรู้สูตรบางอย่างที่อธิบายคุณสมบัติของอนุพันธ์และช่วยแปลงตัวแปรของ "x" เป็นตัวเลข วิธีการต่อไปนี้เป็นแบบสากลดังนั้นจึงสามารถใช้กับฟังก์ชันเกือบทุกชนิด (ทั้งทางเรขาคณิตและลอการิทึม)

1. จำเป็นต้องให้คะแนนฟังก์ชันด้วยฟังก์ชันอนุพันธ์และทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยใช้กฎความแตกต่าง
2. ในบางกรณีเมื่อมีการระบุฟังก์ชันไว้ซึ่งตัวแปร "x" อยู่ในตัวหารก็จำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ยกเว้นจุด "0" จากมัน (ด้วยเหตุผลง่ายๆว่าในทางคณิตศาสตร์ในกรณีที่ไม่สามารถแบ่งออกเป็นศูนย์)
3. หลังจากนั้นจำเป็นต้องเปลี่ยนรูปแบบเดิมของฟังก์ชันให้เป็นสมการง่ายๆโดยให้ค่าเท่ากับนิพจน์ทั้งหมดเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่นถ้าฟังก์ชันดังกล่าวมีลักษณะเช่นนี้ f (x) = 2x³+ 38x แล้วตามกฎของความแตกต่างอนุพันธ์ของมันเท่ากับ f "(x) = 3x²+1 จากนั้นเราแปลงนิพจน์นี้เป็นสมการในรูปแบบต่อไปนี้: 3x²+1 = 0
4. หลังจากแก้สมการและหาจุด "x"ควรเป็นตัวแทนของพวกเขาในพิกัดและตรวจสอบว่าอนุพันธ์ในภูมิภาคเหล่านี้ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เป็นบวกหรือลบ หลังจากการแต่งตั้งจะกลายเป็นที่ชัดเจนในสิ่งที่จุดฟังก์ชั่นเริ่มต้นที่จะลดลงนั่นคือการเปลี่ยนแปลงเข้าสู่ระบบจากลบไปที่อื่น ๆ ด้วยวิธีนี้จะสามารถพบได้เป็นจุดต่ำสุดและสูงสุด

กฎความแตกต่าง

องค์ประกอบพื้นฐานที่สุดในการศึกษาฟังก์ชัน uอนุพันธ์ของมันคือความรู้เกี่ยวกับกฎของความแตกต่าง เฉพาะกับความช่วยเหลือของพวกเขาคุณสามารถแปลงการแสดงออกที่ยุ่งยากและฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ ลองทำความคุ้นเคยกับพวกเขามีจำนวนมาก แต่พวกเขาทั้งหมดง่ายมากเนื่องจากคุณสมบัติปกติของอำนาจทั้งสองและฟังก์ชันลอการิทึม

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ใด ๆ จะเท่ากับศูนย์ (f (x) = 0) นั่นคืออนุพันธ์ f (x) = x⁵+ x - 160 จะมีรูปแบบ: f "(x) = 5x⁴+1
2. อนุพันธ์ของผลรวมของสองคำ: (f + w) "= f" w + fw "
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม: (log_เป็d) "= d / ln a * d สูตรนี้ใช้กับลอการิทึมทุกชนิด
4. ระดับอนุพันธ์: (xⁿ) "= n * x^n-1. ตัวอย่างเช่น (9x²) "= 9 * 2x = 18x
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์: (sin a) "= cos a. หากบาปของมุม a คือ 0.5 ดังนั้นอนุพันธ์ของมันคือ√3 / 2

คะแนนมาก

เราได้ทราบวิธีหาคะแนนต่ำสุดแล้วอย่างไรก็ตามมีแนวคิดและจุดของฟังก์ชั่นสูงสุด หากค่าต่ำสุดแสดงถึงจุดที่ฟังก์ชันผ่านจากเครื่องหมายลบถึงบวกจุดสูงสุดคือจุดเหล่านั้นบนแกน x ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนจากบวกเป็นตรงกันข้าม - ลบ

เป็นไปได้ที่จะหาคะแนนสูงสุดตามวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นเพียง แต่ควรสังเกตว่าพวกเขาแสดงพื้นที่เหล่านั้นเมื่อฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคืออนุพันธ์จะน้อยกว่าศูนย์

ในคณิตศาสตร์มันเป็นธรรมเนียมที่จะพูดคุยทั้งแนวคิดแทนที่ด้วยวลี "points of extrema" เมื่องานถูกขอให้กำหนดจุดเหล่านี้หมายความว่าจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และค้นหาคะแนนต่ำสุดและสูงสุด