สมการ - มันคืออะไร? ความหมายของคำตัวอย่าง

ในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเด็กคนแรกได้ยินคำว่า "สมการ" นี่คืออะไรลองมาคิดกันด้วย ในบทความนี้เราจะพิจารณาชนิดและวิธีการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์ สมการ

เพื่อเริ่มต้นกับเราขอแนะนำให้คุณจัดการกับตัวเองแนวคิดคืออะไร? ในฐานะที่เป็นตำราคณิตศาสตร์จำนวนมากกล่าวว่าสมการคือนิพจน์บางตัวที่มีความจำเป็นต้องมีเครื่องหมายเท่ากัน ในนิพจน์เหล่านี้มีตัวอักษรตัวแปรที่เรียกว่าความหมายซึ่งต้องพบ

ตัวแปรคืออะไร? เป็นคุณลักษณะของระบบที่มีการเปลี่ยนแปลงความหมาย ตัวอย่างที่ชัดเจนของตัวแปรคือ:

• อุณหภูมิอากาศ;
• การเจริญเติบโตของเด็ก;
• น้ำหนักและอื่น ๆ

ในคณิตศาสตร์พวกเขาจะแสดงด้วยตัวอักษร,x, a, b, c ... โดยปกติแล้วงานคณิตศาสตร์จะเป็นแบบนี้: หาค่าของสมการ ซึ่งหมายความว่าคุณจำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรเหล่านี้

สายพันธุ์

สมการ (ซึ่งเป็นสิ่งที่เราถอดชิ้นส่วนในย่อหน้าก่อนหน้านี้) อาจเป็นรูปแบบต่อไปนี้:

• เชิงเส้น
• ตาราง;
• ลูกบาศก์;
• พีชคณิต;
• ยอดเยี่ยม

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับทุกสายพันธุ์เราจะพิจารณาแต่ละแยกกัน

สมการเชิงเส้น

นี่เป็นครั้งแรกที่เด็ก ๆ จะได้รู้จัก พวกเขาจะแก้ไขได้อย่างรวดเร็วอย่างรวดเร็วและเพียง ดังนั้นสมการเชิงเส้นคืออะไร? นี่คือนิพจน์ของแบบฟอร์ม: ax = c ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนโดยเฉพาะอย่างยิ่งดังนั้นเราจะทำให้ตัวอย่าง: 2х = 26; 5x = 40; 1,2x = 6

ลองดูตัวอย่างสมการ สำหรับข้อมูลนี้เราจำเป็นต้องรวบรวมข้อมูลทั้งหมดที่ทราบจากด้านใดด้านหนึ่งและข้อมูลที่ไม่รู้จักในที่อื่น ๆ : x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2 ที่นี่เราใช้กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์: a * c = e จาก c = e / a; a = e / c เพื่อให้การแก้ปัญหาของสมการสมบูรณ์เราดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่ง (ในกรณีของเราฝ่าย) x = 13; x = 8; x = 5 เหล่านี้เป็นตัวอย่างของการคูณตอนนี้ดูที่การลบและการเพิ่ม: x + 3 = 9; 10x-5 = 15 เราถ่ายโอนข้อมูลที่รู้จักไปอีกด้านหนึ่ง: x = 9-3; x = 20/10 เราดำเนินการครั้งสุดท้าย: x = 6; x = 2

นอกจากนี้ตัวแปรของสมการเชิงเส้นเป็นไปได้ที่มันใช้มากกว่าหนึ่งตัวแปร: 2x-2y = 4 เพื่อที่จะแก้มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะเพิ่มแต่ละส่วน 2y เราได้รับ 2x-2y + 2y = 4-2u ที่เราได้เห็นทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับและ -2u + 2y ลดลงทำให้เราจะเหลือ: 2x = 4 -2u ขั้นตอนสุดท้ายแบ่งส่วนหนึ่งของทั้งสองแต่ละที่เราได้รับคำตอบ: X เป็นสองลบ Y

ปัญหาเกี่ยวกับสมการจะพบได้แม้กระทั่งpapyri ของ Ahmes นี่คือหนึ่งในงาน: จำนวนและส่วนที่สี่ให้ทั้งหมด 15 เพื่อแก้ปัญหาเราจะเขียนสมการต่อไปนี้: x บวกหนึ่งในสี่ x เท่ากับ 15 เราจะเห็นอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการเชิงเส้นบนพื้นฐานของการแก้ปัญหาเราจะได้คำตอบ: x = 12 แต่ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่นคืออียิปต์หรือตามที่เรียกในอีกทางหนึ่งวิธีการของสมมติฐาน ในปาปิรัสใช้วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้: ใช้เวลาสี่และหนึ่งในสี่ส่วนนั่นคือหนึ่ง โดยรวมพวกเขาให้ห้าตอนนี้สิบห้าต้องแบ่งออกเป็นผลรวมเราได้รับสามการกระทำครั้งสุดท้ายสามคูณด้วยสี่ เราจะได้คำตอบ: 12. ทำไมเราถึงหารด้วยสิบห้าต่อห้าครั้งในการตัดสินใจ? ดังนั้นเราจึงรู้ว่าหลายสิบห้าครั้งนั่นคือผลที่เราต้องได้รับน้อยกว่าห้า นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาในยุคกลางเขาถูกเรียกว่าวิธีการเท็จ

สมการสแควร์

นอกเหนือจากตัวอย่างที่ได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้แล้วยังมีอีกหลายข้อ ซึ่งคน? สมการกำลังสองคืออะไร? พวกเขามีขวานแบบฟอร์ม²+ bx + c = 0 ในการแก้ปัญหาเหล่านี้คุณต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดและกฎเกณฑ์บางประการ

อันดับแรกเราต้องหาจำแนกตามสูตรดังนี้ b²-4ac มีสามทางเลือกสำหรับผลของการแก้ปัญหา:

• discriminant มากกว่าศูนย์;
• น้อยกว่าศูนย์;
• เท่ากับศูนย์

ในรูปแบบแรกเราจะได้รับคำตอบจากรากสองอันซึ่งพบได้จากสูตร: -b + - จากตัวหารหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์แรกเป็นสองเท่านั่นคือ 2a

ในกรณีที่สองสมการไม่ได้มีราก ในกรณีที่สามรากพบได้จากสูตร: -b / 2a

ลองพิจารณาตัวอย่างของสมการกำลังสองสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมรายละเอียดของความใกล้ชิด: สาม X ยกกำลังสองลบสิบสี่ X ลบห้าเท่ากับศูนย์ จะเริ่มต้นด้วยตามที่เขียนไว้ข้างต้นมองจำแนกในกรณีของเรามันจะมีค่าเท่ากับ 256 หมายเหตุว่าจำนวนที่เกิดขึ้นเป็นจำนวนมากกว่าศูนย์ดังนั้นเราควรจะได้รับการตอบสนองที่ประกอบด้วยสองราก ทดแทนที่ได้รับในสูตรจำแนกการหาราก เป็นผลให้เราได้: X เท่ากับห้าและลบหนึ่งในสาม

กรณีพิเศษในสมการกำลังสอง

เหล่านี้เป็นตัวอย่างที่มีค่าเป็นศูนย์ (a, b หรือ c) และอาจมีหลายค่า

ยกตัวอย่างเช่นเราจะใช้สมการต่อไปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส: สอง x ในตารางเป็นศูนย์นี่เราจะเห็นว่า b และ c เป็นศูนย์ เราลองแก้ปัญหานี้ด้วยเช่นกันเราแบ่งส่วนของสมการออกเป็นสองส่วนดังนี้:²= 0 เป็นผลให้เราได้รับ x = 0

อีกกรณีหนึ่งคือ 16 เท่า²-9 = 0 ที่นี่เพียง b = 0 เราแก้สมการ, โอนสัมประสิทธิ์อิสระไปทางขวามือ: 16x²= 9 ตอนนี้เราแบ่งแต่ละส่วนเป็นสิบหก: x²= เก้าสิบหก เนื่องจากเรามี x ในตารางรากของ 9/16 อาจเป็นลบหรือบวกได้ คำตอบคือเขียนดังนี้ X เท่ากับบวก / ลบสามในสี่

ตัวแปรของคำตอบเป็นไปได้เนื่องจากสมการรากไม่มี ลองดูตัวอย่าง: 5x²+ 80 = 0, ที่นี่ b = 0 เพื่อแก้ปัญหาฟรีให้โยนไปทางด้านขวาหลังจากการกระทำเหล่านี้เราได้รับ: 5x²= -80 ตอนนี้หารแต่ละส่วนเป็นห้าส่วน: x²= ลบสิบหก ถ้าตัวเลขใด ๆ เป็นกำลังสองแล้วเราจะไม่ได้รับค่าเป็นลบ ดังนั้นคำตอบของเราคือสมการรากไม่ได้

การสลายตัวของ trinomial

งานของสมการกำลังสองยังสามารถเสียงในทางอื่น: การย่อยสลาย trinomial สแควร์เป็นตัวคูณ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a (x-x₁) (x-x₂) สำหรับเรื่องนี้เช่นเดียวกับในตัวแปรอื่นของงานก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะหาจำแนก

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: 3x²-14x-5 ย่อยสลาย trinomial เป็น multipliers เราพบว่าการจำแนกโดยใช้สูตรที่รู้จักกันแล้วเราจะได้รับเท่ากับ 256 เราทราบทันทีว่า 256 มีค่ามากกว่าศูนย์เพราะฉะนั้นสมการจะมีสองราก เราพบว่าเช่นในวรรคก่อนเรามี: x = ห้าและลบหนึ่งในสาม เราใช้สูตรสำหรับการขยาย trinomial เป็น multipliers: 3 (x-5) (x + 1/3) ในวงเล็บที่สองเราได้รับเครื่องหมายเท่ากับเพราะในสูตรมีเครื่องหมายลบและรากเป็นลบด้วยการใช้ความรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์ในผลรวมที่เรามีเครื่องหมายบวก เพื่อความเรียบง่ายเราคูณระยะที่หนึ่งและสามของสมการเพื่อกำจัดเศษ: (x-5) (x + 1)

สมการที่ลดลงเป็นสมการกำลังสอง

ในย่อหน้านี้เราจะเรียนรู้ที่จะแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เริ่มต้นด้วยตัวอย่าง:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0 เราจะเห็นองค์ประกอบที่ซ้ำกัน: (x² - 2x) จะสะดวกสำหรับเราที่จะแทนที่ด้วยตัวแปรอื่นแล้วแก้สมการกำลังสองเราทันทีทราบว่าในงานนี้เราได้รับสี่รากนี้ไม่ควรขู่คุณ เราหมายถึงการทำซ้ำของตัวแปร a. เราได้รับ: ก²-2a-3 = 0 ขั้นตอนต่อไปคือการหาตัวจำแนกสมการใหม่ เราได้รับ 16 เราพบรากสอง: ลบหนึ่งและสาม เราจำได้ว่าเราทำทดแทนเราแทนค่าเหล่านี้ในที่สุดเรามีสมการ: x² - 2x = -1; x² - 2x = 3 เราแก้ปัญหาเหล่านี้ในคำตอบแรก: x เท่ากับหนึ่งในสอง: x เท่ากับ +1 และลบ เราเขียนคำตอบดังนี้บวก / ลบหนึ่งและสาม ตามกฎแล้วคำตอบจะถูกเขียนขึ้นเรียงลำดับจากน้อยไปมาก

สมการลูกบาศก์

ลองพิจารณาตัวแปรที่เป็นไปได้อีกหนึ่งแบบ เราจะพูดถึงสมการลูกบาศก์ พวกเขามีรูปแบบ: ขวาน ³ + b x ² + cx + d = 0 ตัวอย่างของสมการที่เราจะพิจารณาด้านล่าง แต่สำหรับการเริ่มต้นทฤษฎีน้อย พวกเขาสามารถมีสามรากเนื่องจากมีสูตรสำหรับการหาตัวจำแนกสำหรับสมการลูกบาศก์

พิจารณาตัวอย่าง: 3x³+ 4x²+ 2x = 0 วิธีแก้ปัญหา เมื่อต้องการทำเช่นนี้เราจะใส่เครื่องหมาย x ในวงเล็บ x (3x²+ 4x + 2) = 0 ทั้งหมดที่เราต้องทำคือการคำนวณรากของสมการในวงเล็บ การจำแนกสมการกำลังสองในวงเล็บมีค่าน้อยกว่าศูนย์โดยพื้นฐานนิพจน์นี้มีราก: x = 0

พีชคณิต สมการ

เราดำเนินการต่อไปในแบบฟอร์มต่อไป ตอนนี้เราจะนึกถึงสมการเกี่ยวกับพีชคณิต หนึ่งในงานเสียงดังต่อไปนี้: โดยการจัดกลุ่มวิธีการใน 3x multipliers⁴+ 2x³+ 8x²+ 2x + 5 วิธีที่สะดวกที่สุดคือการจัดกลุ่มต่อไปนี้: (3x⁴+ 3x²) + (2x³+ 2x) + (5x²5) เราทราบว่า Sx² จากนิพจน์แรกเรานำเสนอผลรวมของ 3x² และ 5 เท่า². ตอนนี้เราลบจากแต่ละวงเล็บเป็นปัจจัยร่วม 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²1) เราเห็นว่าเรามีตัวคูณร่วมกัน: x ในสแควร์บวกหนึ่งเราจะเอามันออกจากวงเล็บ: (x²+1) (3 เท่า²+ 2x + 5) การสลายตัวต่อไปเป็นไปไม่ได้เพราะทั้งสองสมการมีการเลือกปฏิบัติเชิงลบ

สมการล้ำเลิศ

เราเสนอที่จะจัดการกับประเภทต่อไปนี้ เหล่านี้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันยอดเยี่ยม ได้แก่ ลอการิทึมตรีโกณมิติหรือเลขยกกำลัง ตัวอย่าง: 6 วินาที²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 และอื่น ๆ วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้จะเรียนรู้จากวิชาตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน

ขั้นตอนสุดท้ายคือการพิจารณาแนวคิดของสมการฟังก์ชัน ซึ่งแตกต่างจากรุ่นก่อนหน้าประเภทนี้จะไม่ได้รับการแก้ไขและบนกราฟจะสร้างขึ้น สำหรับวิธีนี้สมการจะได้รับการวิเคราะห์อย่างดีเพื่อหาจุดที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการก่อสร้างเพื่อคำนวณจุดต่ำสุดและสูงสุด